桥梁微技术190-老朱带你聊：塑性铰那些事儿

感谢朱老师大力支持

转载自桥何名欤

本文写作目的是总结基于地震时程计算中考虑塑性铰的常用方法。目标阅读人群是对塑性铰了解不足的工程师。我本以为三五千字足以完成阐述，最终大概要一万四千字和35张图片才把我想说的说完，不知不觉一篇计划中的技术文档被我写成了科普文章。

塑性铰是允许进入塑性的桥梁时程分析中必须考虑的内容。很多初学者对其了解不多，在具体计算过程中涉及的诸多设置也一知半解。本文从刚度角度阐述塑性铰相关概念和程序实现原理。

在我们进行静力计算时解决的问题是F=Kx的问题。比如简支梁汽车荷载作用下的跨中挠度与梁体的截面抗弯惯矩和材料的弹性模量（二者乘积即为抗弯刚度）以及汽车荷载的大小有关。对于抗震问题，我们主要需要解决的依然是两个问题：

• 地震作用的动力荷载何如考虑；

• 桥墩破坏后的刚度模拟方法，减隔震支座的非线性刚度如何确定；

相信有的朋友会说动力计算还有阻尼问题，其实通过引入阻尼比的概念，动力计算中的阻尼问题已经很难称之为问题了。

刚度是一把神秘的钥匙，我们计算中的几大难题其实究其根本都是刚度问题。比如塑性铰的材料非线性、悬索斜拉桥的几何非线性和减隔震支座、只受压支座等非线性边界问题。

为了更容易理解塑性铰的相关内容。我们用一个最简单的模型阐述问题。

图1简化模型

本例为（1.5x8）m矩形截面的桥墩，墩底固结，为了模拟主梁的质量，墩顶设置1m高（1x1）m截面的单元作为等效质量块。后续涉及的概念和操作均以此模型为案例展开讨论。

1. 混凝土截面特性曲线P-M及M-φ

(1)  P-M曲线的计算方法

对于类似本例的受压柱，其承载能力是成对出现的弯矩和轴力值，换言之，其截面的抗弯承载能力与其所受的轴力相关，反之亦然。将这些成对出现的弯矩和轴力绘制在一个坐标系下将如下图所示：

图2P-M曲线图

这张图中有几个重要的特征点：

• 与y轴正向的交点：轴心受压承载能力

• 与y轴负向交点：轴心受拉承载能力

• 与x轴交点：纯弯承载能力

• 弯矩最大的点：大小偏心受力特征的分界点

从图中不难得到大家很熟悉的概念，曲线上半部分属于小偏心受压构件，随着轴力的增加抗弯承载能力降低，曲线下半部分属于大偏心受压构件，随着轴力的增加抗弯承载能力也在增加。

P-M曲线的计算方法相对比较详细的介绍可参考《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）附录E:任意截面、圆形截面及环形截面构件正截面承载力计算。主要计算思路是：

图3截面承载能力计算图例

上图最左侧是将截面细分为有限多的微元，截面发生绕水平轴的弯曲，同时受到压力（拉力），根据平截面假定，截面的应变必然如中图所示，根据微元的坐标和受压区位置到坐标0点的竖向距离（r）可得到各微元的应变为：

其中φ _u 为截面达到承载能力极限状态时的极限曲率，分两种情况考虑。

情况一：混凝土达到极限压应变 ，受拉侧钢筋的应变小于极限拉应变（0.01）：

情况二：混凝土未达到极限压应变 ，受拉侧钢筋的应变达到极限拉应变（0.01）：

式中 为受压区高度， 为截面的计算高度。

已知应变后可根据规范6.2.1介绍的混凝土和钢筋的应力应变关系得到各微元的应力。

已知微元应力后，根据下列公式可计算截面的承载能力:

上述各公式中的符号比较容易理解，如需详细查阅可参照规范。

综上所述，计算P-M曲线的主要流程如下图4：

图4承载力计算流程                  图5极限应变图

计算P-M的核心是得到极限承载力对应的应变状态。上图5总结了可能的三类状态，其中 为钢筋屈服应变， 为钢筋极限应变。换言之评价截面达到极限状态只有两个标准，混凝土达到极限压应变0.0033（轴压0.002）或者钢筋达到极限拉应变0.01。据此计算的内容可以理解为几何问题（将钢筋或者混凝土的极限压应变长度作为顶边长，画一条斜线得到一个对角三角形或梯形）。而且从流程图中可以看到，绘制pm曲线无需迭代，图5中的任意斜线都可以作为一种承载能力极限应变状态，实际计算中选取受压区高度作为计算的变量是一种可行的方案。

总结P-M曲线：

• P-M曲线可以理解为承载能力的包络曲线，任意一组内力（N,M）只要位于曲线内则承载能力满足要求；

• 评价承载能力的标准是材料的应变达到极限值；

• 绘制曲线无需迭代；

（2）M-φ曲线的计算方法

目前介绍M-φ曲线计算方法的资料，比较系统的是范立础院士所著《“桥梁抗震设计理论及应用”丛书》（人民交通出版社），全书共三本，其中《桥梁延性抗震设计》一册给出了曲线计算的流程图，且书中明确阐述了M-φ曲线计算所需混凝土mander本构的详细计算公式。

图6 M-φ曲线图

M-φ曲线的计算流程及主要公式如下图：

图7 M-φ计算流程图

流程图中的M和N计算依然是微元应变到应力到内力的思路：

M-φ曲线不同于P-M曲线，P-M曲线表达了截面承载能力极限状态轴力与弯矩的关系，可以据此判断特定轴力弯矩组合下结构的承载能力。而M-φ曲线则是描述了截面特定轴力下从弹性到塑性的弯矩曲率变化过程（破坏过程）。M-φ曲线一般有几个特征点分别是：

• 开裂点：受拉侧混凝土达到极限拉应变；

• 初始屈服点：受拉或受压钢筋、受压混凝土受三者有一个屈服；

• 初始屈服点：受拉或受压钢筋、受压混凝土受三者均屈服；

• 极限点：混凝土受压达到极限压应变、或受拉或受压钢筋达到极限应变;

• 等效屈服点:按照面积等效原则将上图6洋红曲线等效为蓝色折线的拐点;

通过观察流程图不难发现，M-φ曲线的计算方法与P-M曲线有相似之处，两者都是通过计算分割单元的应变得到应力进而得到内力的方式。但P-M曲线以材料的极限应变为评价标准，故不需要迭代即可得到，而M-φ曲线需要满足截面轴力为固定值所以需要迭代得到曲率和弯矩。

（3）什么是塑性铰

图8 弯曲铰示意图

铰本身是机械工程上的术语（上图左），其表示构件之间的一种连接方式，这种连接方式可以传递轴力，但不能传递弯矩。对于桥梁结构是不存在这种理想铰的，但桥墩在地震力作用下墩底（顶）可能会出现破坏（上图中），进而出现一种抗弯刚度退化的过程（如图6），弯矩与曲率的比值（曲线斜率）即为结构的抗弯刚度EI。桥墩刚度退化后表现出来的力学特性类似“机械铰”。

从另一个层面，如果一个桥墩假想永远弹性（比如用强度很高的材料制成），那么通过给墩顶施加水平力的方式，可以让墩底受到“无穷大”的弯矩。但是实际的桥墩可能受到的弯矩值却是有限的，因为如图6所示，当弯矩大于一定值之后，桥墩进入塑性，微小的弯矩增量都会带来很大的曲率增量，可以夸张的认为桥墩变软了，“轻轻一碰便有很大位移”，所以研究材料非线性有一个很重要的概念叫做屈服，当一个结构的刚度达到屈服点后，将表现出“加不上力”的效果。那么这些破坏后不能“很好”传递弯矩的位置，我们便称之为塑性铰。桥梁可能出现塑性铰的位置如图6右所示，无需死记硬背，这些位置都是地震作用下桥墩可能存在的较大弯矩处。

接着前边的思路，便可以更好的理解规范关于能力保护构件的设计理念。因为桥墩的剪切破坏是必须要避免的脆性破坏形式，所以要求桥墩出现塑性铰后绝对不能发生剪切破坏。或者说桥墩要具备足够可靠的抗剪能力，从而保障桥墩进入塑性后桥梁依然足够安全。规范在描述能力保护构件中，桥墩抗剪与盖梁、基础等一样作为独立的一项，很奇怪的被称为能力保护“构件”也正因此。

如何保证地震作用下桥墩的最大剪力小于桥墩的抗剪承载能力呢？规范给出了一种简便易行的计算方法。通过计算桥墩可能受到的最大弯矩反算可能受到的最大剪力。听起来有些绕。可以想象一根桥墩，底部固结，桥墩的剪力永远等于墩底弯矩除以墩高。那么一根墩柱能够受到的最大剪力也必然等于墩柱能够承受的最大弯矩与墩高（出现塑性铰后需要考虑塑性铰长度）的比值。这里如果没有被我说蒙的话，结合我们讨论过的P-M曲线，桥墩所能承受的最大弯矩只与其受到的轴力和材料截面配筋有关，这里特别注意，我们讨论的桥墩所能承受的最大剪力已经与地震力无关了，换言之地震力作用下只能比这个剪力小，不可能比这个剪力大了。下边我们进一步讨论墩柱能够承受最大弯矩的问题。

“墩柱所能承受最大弯矩”，第一感觉应该是墩柱的承载能力，前边我们讲到了P-M曲线（图2），从曲线不难发现，曲线上的点（承载能力点）代表的弯矩值与轴力值是相关的，换言之，不同轴力作用下墩柱的抗弯承载能力不同，按能力保护构件方式得到的设计剪力也是不同的。

规范中规定的计算方法与之类似，只不过选用了M-φ曲线的最大弯矩值（Mu）作为极限弯矩，并进一步将其乘以一个放大系数（超强系数1.2）。无论如何都是计算出桥墩可能受到的“最大”弯矩，从而得到设计剪力值。

图9 弯曲铰示意图

讲到这里细心的看客会发现我们其实还忽略了一个很重要的因素，规范中描述极限弯矩的文字很值得玩味，“按截面实配钢筋，采用材料强度标准值，在最不利轴力作用下计算出的截面顺桥向和横桥向极限弯矩”。这句话中提及“最不利轴力”，听起来很玄妙，实际却非常简单，对于纵向地震作用，由于桥墩受力均类似“悬臂墩”的情况，常规桥梁计算又不考虑竖向地震力作用，地震力作用下桥墩的轴力不会发生明显改变，故此处最不利轴力即为恒载轴力。但是对于横向排架墩，地震作用下桥墩的轴力会有明显的变化（下图10），此时规范提出通过Pushover的方式计算桥墩剪力，并给出迭代方法。

图10 Pushover推倒模型

理解了塑性铰的概念，规范的迭代思路就会清晰很多。通过试算上图的墩剪力合力Q,使得桥墩出现塑性铰后，塑性铰的弯矩为超强弯矩，此时的桥墩剪力即为设计剪力。

塑性铰的概念已经讲得足够多了。塑性铰本身也毫无神秘，本质只是描述桥墩刚度在外荷载作用下的取值问题。下面就进入本文的重点，有限元中如何考虑塑性铰。我们将分别讨论骨架铰和纤维铰。

2. 什么是塑性铰，如何在有限元中模拟塑性铰

1. 塑性铰表达方式——骨架铰中的滞回曲线

描述混凝土桥墩在地震作用下的受力特性，或者说刚度变化情况，我们称之为滞回曲线。中文是奇妙的，通过这个新的名词不难猜想，这条曲线一定不像上述P-M曲线或者M-φ曲线那样处于单值状态。先上图看看地震作用下桥墩底部弯矩和曲率的图形是什么样子吧！

图11 地震力作用下塑性铰的弯矩曲率曲线

对抗震不熟悉的朋友一定对这个图形很陌生，感觉乱七八糟的一堆线，那么我们把问题变得简单一些，假如我们只模拟地震的一次震动，也就是加速度从0开始到-0.2g。且我们将塑性铰类型选择为“修正武田三折线”（暂且不用考虑这是什么鬼东西，后边会慢慢解开）。

图12 测试地震波

图13 塑性铰设置

经计算桥墩底部设置塑性铰的单元弯矩曲率图如下：

图14 塑性铰弯矩曲率曲线

上图曲线明显分为三段，如果没有定义塑性铰按弹性计算，曲线将是与第一条曲线重合的射线。通过上述的设置地震荷载作用下，桥墩呈现了由弹性到塑性的变化过程。

接下来要解决的问题就是如何设置塑性铰，或者说如何考虑桥墩进入塑性后的荷载位移规律（弯矩曲率关系）。比较遗憾目前主流的描述混凝土桥墩荷载位移曲线的力学模型都是由外国人通过试验得到。比较知名的是克拉夫和武田提出的退化模型。其中又以修正武田三折线应用最多。

接下来我们就要介绍骨架铰最核心的内容—滞回曲线，下图即为修正武田三折线的滞回曲线：

图15 修正武田模型

因为地震荷载是往复震动，桥墩经历不断加载和卸载的过程，故我们称这种力和位移呈现往复滞回的特性为滞回曲线。此曲线需要描述任意计算时刻结构计算所要采用的刚度值（曲线的斜率）。图中的箭头表示加载或者卸载的过程。确定滞回曲线需要两方面的内容，一方面是基本曲线的形态，比如是双折线、三折线、还是四折线等（本图从原点出发后的曲线显然是三折线），并通过特征点（强度与曲率）描述基本曲线。另一方面是明确加载和卸载的曲线滞回规则，换言之加载或者卸载时曲线的走向。

图中的P1、P2、D1、D2、是曲线的特征点，需要人为指定，除此之外还要指定强度超过P2点后的刚度。这就是滞回曲线需要做的第一件事情，先确定一条基本曲线。上图11便通过自动计算的方式确定了三折线的基本曲线，故图14计算出来的曲线自然满足三折线的特性。

至于加载卸载规律是滞回曲线最核心的内容，是通过试验数据回归出来的结论，也是相对比较复杂的内容。比如下图描述了内力小于第二屈服强度时的滞回规律：

图16 时的滞回规律

1. 时， 为线弹性状态，沿着经过原点斜率为 K0 的直线移动(Rule:0)。

2. 变形 D 初次超过 D1(±)时，沿着第二条折线的斜率 K2(+)、 K2(-)移动(Rule:1)；在第二条折线移动时卸载， 将沿着指向反向最大变形点移动，反向没有发生屈服时，反向第一屈服点为最大变形点(Rule:2)；在到达反向最大变形点之前重新加载， 将沿着相同的卸载直线移动(Rule:3)； 当到达骨架曲线位置时，重新沿着斜率为 K2(+)、 K2(-)的骨架曲线移动(Rule： 4)。

图17 时的滞回规律

③变形D 初次超过D2(±)时，沿着第三条折线的斜率K3(+)、K3(-)移动(Rule:10)；此时卸载时，将沿着斜率为 Kr(+)、Kr(-)的直线移动(Rule:11)；反向没有发生过第二屈服时，反向的第二屈服点为最大变形点。

④超过恢复力为0的点时，将向反向最大变形点移动( Rule: 14)；在向反向最大变形点移动时卸载，则开始进入内环( Rule: 15)；在内环中到恢复力为0的点之前，沿斜率为 K un (-)、 K un (+)的直线卸载，超过恢复力为0的点后，将向反向的最大变形点移动(Rule:16)

不知道读到这里有几位能耐心看完所有四条规则，实际如果不是从事计算机编程，我们大可不必研究那么仔细。只要了然骨架铰选择不同的力学模型就是采用了不同的滞回规律即可。留给软件使用者的空间只是去定义基本曲线。以修正武田三折线为例，其中的三折线程序可以通过自动计算得到。具体定义界面如下图:

图18 三折线设置

通过上图可以看出程序输入三折线可以采用的方式是输入强度位移或者刚度折减系数，两者没有本质区别，而选择自动计算后，两个折减系数用户需要认为指定，屈服强度由程序自动计算。除此之外用户可以控制初始刚度（默认值EI/6）,至于卸载参数的含义见滞回规律中的β。

程序如何自动计算强度值这一问题还不明朗，本着刨根问底的思路我们继续挖呀挖，让我们看下程序根据截面配筋计算得到的屈服面信息（确定屈服强度信息）：

图19 自动计算屈服面

曾经一度我被这个界面吓到，信息量太大了。各种数据不知所云，经过我一周加班加点的钻研，终于一窥究竟。

首先示意图中的三条曲线含义如下：

• 外侧曲线：被定义塑性铰单元截面的屈服面（P-M曲线）

• 直线：被定义塑性铰单元截面的开裂线

• 内侧曲线：根据上述两条线近似模拟的开裂屈服面

程序计算塑性铰的三折线特性点P1、P2即为开裂弯矩及屈服弯矩。程序会根据初始轴力画一条水平线，与直线相交的点即为P1,与外侧曲线相交的点即为P2。

另外需要注意，程序并没有直接取用截面的P-M曲线作为外侧曲线，而是通过十二个点近似描述这条曲线。这十二个点的计算依然不同于P-M曲线的计算原理，而是通过类似椭圆方程的方式计算。

首先程序计算P-M曲线上的三个特征点，轴压、轴拉、和最大弯矩点。在程序界面中给出了这三个点的数值：

图20 P-M曲线关键点

其中：PY(t)——轴拉承载力

PY(c)——轴压承载力

PYBy——最大弯矩My对应轴力

MYy,max——最大弯矩My

程序通过这三个特征点计算“近似”P-M曲线的公式和曲线指数的取值如下：

图21 P-M曲线形状系数

根据上式可以计算轴力对应的屈服强度My，认真观察公式和图19，可以发现这个公式非常类似移轴后的椭圆公式（Gama和Beta均等于2时），椭圆的半径分别等于MYy,max和（ ），椭圆中心沿Y轴上移 的距离。

程序界面最后给出了绘制这条近似P-M曲线上十二个点的取值：图中比例表示计算点与“椭圆”半径的比值，比如D(c)=0.42，表示此点的轴力为： （ ）*0.42，此点对应的弯矩M值为0.797254*（MYy，max）。

图22 P-M曲线关键点

关于开裂面，对于PM铰不必将其近似为图19中的内侧开裂曲线，可直接根据直线计算P1。开裂直线的计算方法很简单，源自开裂弯矩表示截面受拉侧强度达到混凝土的抗拉强度标准值。

偏心受压构件混凝土边缘的应力等于:

当边缘应力等于混凝土的抗拉强度标准值，则考虑符号后此时的弯矩即为开裂弯矩，开裂弯矩与轴力呈现线性关系:

至此，关于骨架铰的特性值已经全部了然。曾经一度我以为已经把骨架铰研究得很透了。但如牛顿所说“ 无知识的热心犹如在黑暗中的远征 ”，我们仍然忽视了两个重要的内容：

• 实际地震荷载作用下，桥墩的轴力可能会发生较大的变化，而我们前边讲P-M曲线时提到，截面的承载能力与其所受轴力直接相关。那么在计算的过程中铰特性值中的P1和P2也应该发生改变。

• 三折线我们只是确定了P1、P2,另外需要输入的两个刚度折减系数α1，α2如何确定。

先考虑第一个问题，还记得我们的那个简单的测试模型吗？我们在原有模型的基础上给桥墩施加竖向地震波如图23，经计算，桥墩地震荷载下的轴力如下图24所示，输出墩底塑性铰的弯矩曲率曲线如下图25。

图23 竖向地震波

图24 考虑竖向地震后的轴力图

图25 考虑竖向地震后塑性铰弯矩曲率图

比较图14和图25会发现即使地震作用下桥墩的轴力已经与恒载轴力不同，但最终程序采用的滞回曲线（此时由于荷载是单向的，曲线仅为三折线）依然不会改变。换言之程序只能考虑初始轴力下的开裂强度和第二屈服强度，并用之确定滞回曲线中的三折线特征点。地震过程中桥墩轴力的改变程序是不考虑其带来屈服强度需改变这一事实的。

经过测试还会发现，程序考虑初始轴力的方式必须要求接续的荷载工况为时变静力荷载，接续施工阶段合计或接续静力荷载工况均不能“正确”考虑这类荷载效应引起轴力所计算得到的P1、P2点。而对于桥梁工程，只要存在体系转换（比如悬臂浇筑连续梁或连续刚构等），桥墩的恒载轴力与施工阶段密切相关，而时变静力荷载无法考虑施工过程的累加效应。不得不承认这一结论大大降低了骨架铰采用P-M相关的方式计算存在体系转换的桥梁类型中的塑性铰特性值。

图26 接续前次的方式

绕了很大一圈仿佛把自己走到了绝路。那么是否有一种更好的方法解决三折线特征点的确定问题呢？

让我们稍事停留，回头整理下思路，骨架铰表现桥墩塑性特征的方法是通过某一力学滞回曲线，滞回曲线需要明确滞回规律，滞回规律基于某一特定的n折线，选择P-M方式程序可以根据初始内力计算P1和P2强度，且需要用户指定初始刚度和刚度折减率α1和α2。且程序不会因为地震力力作用下轴力改变修正滞回模型。那么问题就变得简单了，如果我们知道特定轴力下桥墩从弹性到塑性的变化规律，并且用三折线去描述它，那么所有问题都得以解决。

“特定轴力下桥墩从弹性到塑性”是不是很耳熟，开篇我们就讨论了两条很重要的曲线，M-φ曲线的含义不正如此吗？于是我们何不借用M-φ曲线拟合一条三折线。这样即可以规避P-M铰初始轴力必须用时变静力荷载的局限性，又可以得到有据可循的刚度折减系数α1和α2。虽然没有P-M方式自动计算看起来那么爽，但这种方法更具通用性。

具体拟合方式顺其自然可以想到通过开裂点（或初始屈服点）确定第一折线。屈服点确定第二折线的终点，极限点确定第三折线的终点。特别注意由于滞回规律的限制，三折线不允许出现负刚度（斜率小于0），有时候M-φ曲线计算出的第三条折线会出现负值，这时候可以将其与第一刚度的比值设置为0.001（近似取水平线）。

相信读到这里很多看客已经被我说晕了。建议读不下去的朋友重新整理下思路，重新思考我们的研究对象（一个底部发生破坏的桥墩）。想想如果让你去计算在外荷载的作用下，他的受力和变形的情况。

做MIDAS的技术支持，我一直有个习惯，那就是时刻抱着一颗好奇心，力图探究程序计算各种效应的内部方法。就像我特别崇拜的大咖胥博士所云，一旦掌握了程序的“脾气秉性”，你便成为程序的主人，这样才是你做分析，而不是程序再做分析。扯远了，继续下边的内容吧。

(2)塑性铰表达方式——纤维铰中的材料本构

在讨论P-M曲线和M-φ曲线的时候，关于材料的本构一直没有展开，我将把这部分内容放到这里。因为纤维铰唯一的“技术活”就是定义材料的本构。

首先看下最简单的钢筋的本构：

图27 钢材本构

从图中可以看出，钢材本构采用最简单的双折线模型，屈服前刚度即为其弹性模量，屈服强度取材料的标准强度，屈服后刚度取很小值。

混凝土一般分为箍筋内的约束取混凝土部分和保护层区的无约束混凝土部分。由于有箍筋的约束，核心区混凝土处于三向应力状态，其强度将提升。下图为约束混凝土和无约束混凝土的本构曲线。

图28 混凝土本构

而Mander等建议的约束混凝土的本构（应力应变曲线）是规范提到的建议本构关系，其数学表达式如下：

=

式中： ——约束混凝土的峰值应力（抗压强度）；

——约束混凝土达到其抗压强度时的应变；

——无约束混凝土达到抗压强度时的应变，一般取0.002；

——无约束混凝土抗压强度（按规范表格可查，切记折减）；

——混凝土初始弹性模量（按规范表格可查）；

——约束混凝土在其约束抗压强度时的割线模量；

虽然公式貌似复杂，但本质依然是在描述 与 之间一元函数关系。为了确定函数关系需要知道无约束混凝土的特性值（ 、 、 ）以及约束混凝土的 。无约束特性值后续专门提及，此处暂时认为已知。于是问题转换为如何确定约束混凝土的峰值应力或说抗压强度 。

关于 的计算方法目前我看到的比较权威的资料依然是范立础院士所著《“桥梁抗震设计理论及应用”丛书》，其值主要与横向箍筋屈服时混凝土所受到的有效约束应力 有关，现简要摘录主要计算公式：

对于圆形截面：

对于矩形截面：  

Ke为有效约束系数，圆柱截面取0.95，矩形截面取0.75，矩形薄壁截面取0.6，ρ值为箍筋的含箍率。

关于mander本构最值得探讨的问题是无约束混凝土强度的取值问题。首先让我们回顾一下混凝土各种抗压强度含义，然后根据规范条文说明给出的各种换算公式得到计算mander本构时无约束混凝土强度取值的计算方法。

1. 立方体抗压强度标准值

按标准方法制作、养护至28d龄期的边长为150mm立方体试件，以标准试验方法测得的具有95%保证率的抗压强度，即为 。

《桥规》（JTGD62）规定的强度等级按边长150mm的立方体抗压强度标准值确定，并冠以C表示，如C30表示30级混凝土。

世界各国规范中用以确定混凝土强度等级的试件形状和尺寸不尽相同，有采用立方体试件，也有采用圆柱体试件。根据我国的试验资料，圆柱体强度与150mm立方体强度之比为0.83~1.04，平均值为0.94；但过去我们习惯于与200mm立方米强度之比为0.85进行换算。考虑到新旧规范（旧规范为85规范）立方体强度试件尺寸和保证率的不同，圆柱体强度与《桥规》（JTGD62）规定的边长为150mm立方体强度之比，可近似按0.85换算。

2. 轴心（柱体）抗压强度标准值

我国采用150x150x450mm的柱体作为混凝土轴心抗压试验的标准试件，按与上述立方体试件相同的制作、养护和标准试验方法测得的具有95%保证率的抗压强度称为轴心抗压强度，记为 。

式中：β为脆性折减系数C40、C80之间按1.0和0.87内插。

α为对C50及以下混凝土取0.76，C55—C80取0.77—0.82。

按上述公式可计算得到规范表格：

• fcu,k	30	35	40	45	50	55	60
  fck	20.064	23.408	26.752	29.607	32.353	35.451	38.507

3. 轴心（柱体）抗压强度设计值

构件中混凝土抗压强度设计值fcd，由混凝土轴心抗压强度标准值除以混凝土材料分项系数γfc=1.45求得。进而可得到下边表格：

• fck	20.064	23.408	26.752	29.607	32.353	35.451	38.507
  fcd	13.837	16.143	18.450	20.419	22.313	24.449	26.557

4. 《 85规范》混凝土抗压强度与《14》混凝土抗压强度对比

《85规范》为边长是200mm的立方体抗压强度标准值作为区分强度等级的标准。与150mm新规范立方体抗压强度标准值之间的换算关系为:

式中： 为新规范混凝土强度等级；

为《85》规范混凝土标号；

为混凝土的变异系数，取值如下表;

新规范强度等级和《85》规范混凝土标号变换关系

5. Mander本构中混凝土抗压强度取值

美国和日本等国家，采用圆柱体强度作为混凝土标号。他是采用龄期为28d、直径150mm高度300mm的标准圆柱体试件试验获得，用符号记为： 。

混凝土立方体标准试件的强度与其他各种试件的强度之间换算关系如下：

为棱柱体抗压强度，也称为轴心抗压强度。R20为200mm立方体抗压强度。

根据上式可得到150mm现行规范换算为Mander所需圆柱体抗压强度。换算公式应为：

各级强度转换系数β如下表，常用下部计算的C30至C40混凝土近似可取0.9。

6. 结论

• 立方体抗压强度标准值 ，经常被称为“标号”强度，更严格意义上应为强度等级，是以立方体（150mm）试件试验为依据给出。

• 轴心抗压强度标准值 为采用更接近实际使用状态的（150x150x450mm）棱柱体试件试验得到的强度指标。其值可根据αβ两个参数由立方体强度求得。

• 轴心抗压强度设计值，只是考虑了1.45的分项系数由 得到。

• 新旧规范混凝土强度等级可以通过变异系数 相互转换。

• Mander本构中的无约束混凝土强度为圆柱体抗压强度，其与现行规范强度转换系数可根据0.85倍的转换关系和新旧混凝土强度转换公式计算得到，常用下部结构抗震计算可取0.9。

无约束混凝土的本构对计算结果影响不大。可按《混凝土结构设计规范》的相关条款取值，本文不再赘述。

了解了材料的非线性本构再介绍纤维铰就变得非常轻松。纤维铰用我的老朋友王宇（MIDAS有史以来台风最潇洒的讲师）的比喻是“一把筷子”。把桥墩想象为一把筷子，或者说把桥墩沿纵向切割为很多纤维，分割过程中将截面的不同区域划分为无约束混凝土、约束混凝土和钢筋单元。下图29为MIDASCivil划分纤维的界面：

图29 桥墩截面划分纤维单元

纤维模型的基本假定和计算原理如下：

• 满足平截面假定，即变形过程中截面保持平面状态并与构件纵轴垂直。所以不能考虑钢筋与砼之间的粘结滑移。

• 单元各位置截面形心的连线为直线。

• 截面内力(弯矩、轴力)通过对各纤维的应力进行积分获得，截面的刚度通过对截面的柔度矩阵取逆获得，单元的刚度可通过对积分点(集中型或分布型)进行积分获得。

纤维模型不仅可以准确模拟受弯构件的力学特性，而且可以考虑截面内纤维的局部损伤状态。另外纤维模型还可以考虑轴力和弯矩、两个弯矩之间的相互影响，但是因为不能反映剪切破坏，所以一般用于剪切变形不大的线单元。

纤维铰最后需要说明的问题是，软件定义纤维铰时依然需要输入三折线特性值，输入的目的是什么，如下图所示：

图30 桥墩纤维铰定义

图31 桥墩纤维特性值定义

细心的朋友还会发现，这里无需选择滞回曲线的力学模型（比如修正武田三折线），计算铰特性值的屈服强度等内容时可以自动计算也可以人为手动输入，特别注意由于图30中已经不能选择P-M相关，程序自动计算的屈服强度必然不能准确考虑轴力贡献。

为何纤维铰无需选择滞回模型呢？因为纤维铰的计算原理是直接通过计算各纤维单元的应力应变非线性关系，进而考虑整个桥墩的弹塑性状态，而骨架铰是人为的设定了桥墩的塑性变形和内力关系。两者考虑的方式大相径庭。

那么纤维铰不需要设定滞回模型为何还需要设定三折线的刚度折减规律呢？主要是因为纤维铰不像骨架铰在定义时就有明确的屈服强度等特征点。所以需要人为的指定这些特征点以便于查看计算结果时可以同样给出类似骨架铰的内容，比如屈服状态、延性比等。

这里特别注意，无论纤维铰的三折线定义成什么值，最终模型的计算结果（内力、位移等）均不会改变，因为三折线只是像一把“尺子”一样，只负责去量取纤维铰的计算结果。计算过程中三折线毫无用武之处。

2. 铰类型的选择及各自特点总结

下表比较了一座主梁跨度布置为 m的刚构桥，下部结构采用双肢薄壁墩，墩高23m，顺桥向墩宽1.8m，横桥向墩宽15m，双薄壁截面的中心距6.2m。本桥地震相关控制指标为：地震分区特征周期0.4s，场地类别Ⅱ类，抗震设防烈度8度（0.3g）。模型如下图：

图32 刚构桥模型（ m）

采用纤维铰和利用M-φ曲线自定义特性值的骨架铰，桥墩顶底塑性铰区地震作用下的最大曲率对比如下表所示：

通过比较不难发现两者计算结果相差悬殊。究其原因主要是计算理论不同。骨架铰基于实际的桥墩结构定轴力作用下的荷载位移试验得到的力学滞回模型，而纤维铰是将桥墩截面理想化为若干具备非线性应力应变关系材料的纤维单元。

两种塑性铰各自有着自身的优点和缺点：

• 骨架铰运行效率高，特别是大型计算模型，耗时较小；

• 骨架铰无法考虑变轴力对结构刚度的影响，只能考虑固定屈服强度的n折线滞回模型；

• 骨架铰是通过荷载试验得到，其滞回规律更贴近实际结构的受力特征；

• 纤维铰无法考虑滑移等实际可能存在的破坏形态，其基本假设“偏”理想化；

• 纤维铰理论上可以考虑轴力变化对结构刚度的影响；

• 纤维铰可以输出截面各位置地震作用下的应力应变结果；

• 纤维铰由于是有限元中的有限元，计算量大工作效率较骨架铰低；

实际工程项目塑性铰类型的选择要根据具体情况（特别是地震荷载作用下的轴力），综合考虑上述特点酌情选取。当然从保守设计的角度，两者均能满足规范要求当然是最好的结果。

3.关于规范与铰相关内容的讨论

（1）验算曲率还是验算转角

通过上述长篇累牍的赘述，我们已经了解了塑性铰在有限元中的实现方式，剩下的问题是如何根据有限元的计算结果评价桥梁的抗震性能。

《公路桥梁抗震设计规范》7.4.1~7.4.6明确规定了位桥墩位移验算的方法，总结如下：

• 矮墩强度控制，故无需验算位移，换言之，桥墩不可能进入塑性，也就无需验算延性设计的位移指标；

• 弹性计算方法，比如反应谱法，验算桥墩的位移，非弹性计算方法，比如时程考虑塑性铰，验算桥墩的塑性转动能力（塑性转角）；

• 反应谱法计算的位移需要乘以考虑弹塑性效应的地震位移修正系数Rd；

• 单柱墩或多柱墩顺桥向的允许位移公式如下：

• 对双柱墩、 排架墩横桥向的容许位移可在盖梁处施加水平力 F（ 图 7.4.6） ， 进行Pushover分析， 当墩柱的任一塑性铰达到其最大容许转角时， 盖梁处的横向水平位移即为容许位移。

• 塑性铰区域的最大容许转角应根据极限破坏状态的曲率能力， 应按下式计算：

本文主要围绕塑性铰展开，之所以将反应谱分析方法的验算思路引入，主要是为了借其原理说明时程验算方法的问题。

式7.4.4-1是单柱墩反应谱法允许位移计算公式。很幸运这只是一个基本的力学公式，我们可以据此了解规范验算桥墩延性的一般思路。

公式的第一部分看起来很复杂，其实这只是桥墩处于弹性阶段，墩底曲率等于φy时，墩顶位移的计算公式，利用结构力学的方法很容易推导，见计算模型图33和图34及推导公式。

图33 悬臂墩顶允许位移计算模型

图34 弹性位移力法计算模型

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公式的第二部分，墩顶位移近似等于桥墩塑性转过的角度乘以（墩高-塑性铰高度的一半），这只是弦长近似等于圆心角乘以半径的简单公式，无需多言。

分析上述计算方法可以发现，对于反应谱分析由于需要计算塑性位移（公式第二项，屈服后的位移），引入塑性铰区的最大屈服后转角（ ? u ? L p (? u ?? y )/ K ds ）这一概念是必须的，且计算过程中必须引入塑性铰长度这一概念。观察塑性铰长度计算公式（7.4.4-4）可以发现，塑性铰长度与外荷载无关，显然这是一个经验公式。

让我们把视线回到时程分析，我们定义的塑性铰是以单元为单位的，或者说我们的计算结果是某个单元进入塑性或者没有。如果按照规范的原文验算塑性转动能力那么验算公式 会有两个问题：

• 应为对应右侧距离墩底Lp高度位置的塑性转角，而我们进行有限元计算时，塑性铰的高度是通过指定单元的形式确定的，当然，我们可以无限细分单元，理论上我们可以得到地震力作用下的理论塑性铰高度。但这一高度与Lp必然不想等。两个不同高度的塑性铰区域比较转角多少有些怪怪的。

• 的计算方法应为地震作用下的最大转角减去屈服转角。此时的屈服转角如何取值，通过关于有限元塑性铰实现方法的讨论，程序采用的屈服强度是人为指定的，并非程序计算所得。故，实际计算所谓的塑性转角存在很大的“不确定性”。

研究抗震问题就是这样，时不时的会有种走入死胡同的感觉。每到此时，我都会去请教行业内最顶尖的大咖。为了解惑这个问题，我特意拜访了北京市政研究总院的秦大航总工，我提到，是否我们可以抛开转角直接回到曲率的层面验算桥墩延性，他对于我的这个尝试给予肯定。他的一句话很耐人寻味，他教导我桥梁抗震应该首先是把概念设计放到第一位，这个错了就全盘皆输，然后是采用恰当的抗震措施，最后才是计算。而且动力计算有时候不能太纠结，不然就没法进行，要做到抓大放小。

我最终想到的解决方案如下：

直接抛弃转角，回到延性设计的基本思路， 的核心思路是，桥梁的延性控制值应该保证小于（极限值-屈服值）/2的标准。对于反应谱分析Lp是绕不开的物理量，但对于时程分析反而成为累赘。于是我们的验算标准可否简化为 。这样我们提取验算数据只需要关注墩底（顶）地震作用下的最大曲率与屈服曲率的差值。至于不等号左边的屈服曲率，目前看“只能”取和不等号右边一样的 。于是对于公路、市政桥梁时程分析位移的验算公式可近似修改为：（ ）。这里不得不说对于死扣规范的人是不能接受的。但对于“开明”的审查人员是完全可以接受的可行方案。

下边我们再看下铁路规范关于桥墩延性的验算思路：

GB 50111-2006(2009年版)《铁路工程抗震设计规范》中明确规定当截面最外侧钢筋开始屈服时认为结构已进入屈服状态。此时，桥墩产生的最大位移即为桥墩的屈服位移。7.3.3条给出钢筋混凝土桥墩在罕遇地震作用下的弹塑性变形分析，延性验算应满足下式的要求：

式中： ——非线性位移延性比；

——允许位移延性比，取值为4.8；

——桥墩的非线性响应最大位移；

——桥墩的屈服位移。

当midasCivil中定义纤维铰模型时，可以通过查看“纤维截面分析结果”，明确的得到最外侧钢筋进入屈服的时刻，进而得到此时桥墩顶的位移作为屈服位移，地震作用下的最大墩顶位移与屈服位移的比值即为验算内容。也许正因如此纤维铰在铁路设计院中被广泛使用。

最后再强调公路规范验算曲率是无奈之举，因为对于有限元分析转角相对曲率要复杂的多。至于不等号两侧同样采用一个值（其实可以合并为一项），主要是公路规范对于不等号左侧的屈服状态规定稍微有些不明确。右侧的屈服曲率 采用M-φ曲线的计算结果，为等效屈服曲率（下图35）。有限元分析中的塑性铰无论是骨架铰还是纤维铰都很难找到与之匹配的特征点。其实即使找到也很难区分等号左右两侧的的屈服值有何不同。

图35 在M-φ曲线中的位置

（2）时程分析时出现塑性铰，桥墩的抗剪强度如何取值

写到这里深感疲惫至极，最后一个问题简短结束吧。

问题如标题所示，答案是必须按照能力保护构件的思路，根据桥墩的最不利轴力计算桥墩的设计剪力。绝对不可以直接取地震作用下桥墩受到的“实际剪力”，即使将这个“实际剪力”x1.2也不可以。至于理由，目前我只能说我问了三位行业大咖（李龙安总工、秦大航总工、王爽）结论都是一致的。

时程分析，桥墩进入塑性的情况，桩基础的验算依然应该和抗剪一样采用能力保护构件的设计思路，根据最不利轴力得到超强弯矩和设计剪力。实际操作中可以将模型多余部分删除，只保留承台及桩基础，在承台顶施加桥墩的轴力、超强弯矩和设计剪力，承台高度中心施加惯性力（可用规范的静力法得到）。然后观察桩基础在土中的最大弯矩，一般最大弯矩位置不会很深，可近似取此处的轴力为桩顶轴力，利用弯矩和轴力就可以验算配筋了。最简单的验算方法是与桩截面M-φ曲线的等效屈服弯矩进行比较。

文已至此，再总结一句，桥墩塑性铰的核心是通过两种方法(骨架或纤维)近似模拟桥墩地震作用下从完好无损到有限损伤的破坏过程，而模拟的物理量是桥墩刚度的非线性变化过程。

如悍妇足脚布一般的恶文终于可以结束了，写之不易，希望读之有味！ (-_^)

本文灵感来源于与河北省院志聪师兄的交流。

由于本人能力有限，文中不免漏洞百出，权当抛砖引玉。

本文撰写过程中得到桂满树总、李龙安总、秦大航总、王爽、赵继、郭春阳、付岚岚等行业大咖的指点和帮助，特此感谢。

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